Question

【題目】已知橢圓的上、下頂點分別為和，且其離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點是直線上的一個動點，直線分別交橢圓于兩點（四點互不重合），請判斷直線是否恒過定點.若過定點，求出定點的坐標；否則，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點.

【解析】

（1）根據題意得，橢圓焦點在軸上，，由離心率，得出，結合即可求出，即可得出橢圓的標準方程；

（2）設，分別求出，進而得出直線和的方程，聯立方程組，分別求出的坐標，即可得出，寫出直線的方程，即可得出答案.

解：（1）由題意得出，，則，

又因為，即，解得：，

所以橢圓的標準方程為：.

（2）點是直線上的一個動點，可設，

又因為和，則，

得出直線的方程為：，直線的方程為：，

設，

聯立方程，整理得，

解得：，代入直線得：，

得，

聯立方程，整理得，

解得：，帶入直線得：，

得，

所以，

則直線的方程為：，

整理得：.

所以直線過定點.