Question

【題目】（本小題滿分12分）已知圓C過點P（1，1），且與圓M：關于直線對稱．

（1）求圓C的方程：

（2）設Q為圓C上的一個動點，求最小值；

（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C交與A，B，且直線ＰＡ和直線ＰＢ的傾斜角互補，Ｏ為坐標原點，試判斷直線ＯＰ與直線ＡＢ是否平行？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）－4；（3）平行．

【解析】

試題（1）由題意圓心與圓心關于直線對稱；（2）設，由（1）有，，可設，代入可求得的最小值；（3）本題證明用解析法，由于直線ＰＡ和直線ＰＢ的傾斜角互補，設方程為，則方程為，把它們代入圓的方程求得的坐標，計算得，即．

試題解析：（1）設圓心C（a,b），則 解得 a=0 b=0

所以圓C的方程為 ， 將點P的坐標代人得， 所以圓C的方程為．

（2）設Q（x,y） ，則

所以

所以的最小值為 -4 （可由線性規劃或三角代換求得）

（3）由題意可知，直線ＰＡ和直線ＰＢ的斜率存在且互為相反數

故 可設ＰＡ： ＰＢ：

由 得

因為點P的橫坐標是 x=1,一定是方程的解 故可得

同理

所以

所以直線ＯＰ與直線ＡＢ一定平行．