【題目】已知過橢圓
的四個頂點與坐標軸垂直的四條直線圍成的矩形
（
是第一象限內的點）的面積為
，且過橢圓
的右焦點
的傾斜角為
的直線過點．
（1）求橢圓的標準方程
（2）若射線
與橢圓的交點分別為
．當它們的斜率之積為
時，試問
的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．
【答案】（1）
；（2）
的面積為定值
．
【解析】
（1）根據矩形面積、直線
斜率和橢圓
關系可構造方程組求得，進而得到橢圓標準方程；
（2）當直線
斜率存在時，設方程為
，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，利用弦長公式求得
，點到直線公式求得點
到直線距離
，進而表示出
；根據
，代入韋達定理形式化簡可得
，代入中化簡得到
；當直線斜率不存在時，可求得
兩點坐標，進而求得；綜合兩種情況可知為定值.
（1）由題意得：
，
，
，
.
直線的斜率
，
，
由
得：
，
橢圓
的標準方程為.
（2）的面積為定值，理由如下：
設
，
，
①當直線斜率存在時，設方程為.
由
得：
，
則
，即
，
，
，
，
又點到直線的距離
，
.
，
，
化簡可得：，滿足
，
；
②當直線斜率不存在時，
且
，可設
，
，
則點的坐標分別為
，
，
此時
；
綜上所述：的面積為定值.
浙江之星課時優化作業系列答案
激活思維優加課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一動圓P與定圓
外切，且與直線
相切，記動點P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點
作直線l與曲線E交于不同的兩點B、C，設BC中點為Q，問：曲線E上是否存在一點A，使得
恒成立？如果存在，求出點A的坐標；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙、丙三名乒乓球手進行單打對抗比賽，每兩人比賽一場，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負者得0分，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為
，丙勝甲的概率為
，乙勝丙的概率為
，且各場比賽結果互不影響.若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為
.
（1）求的值；
（2）設在該次對抗比賽中，丙得分為
，求的分布列、數學期望和方差.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a1
，公比q>0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數列.
（1）求{an}；
（2）設bn
，求數列{cn}的前n項和Tn.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的上、下頂點分別為
和
，且其離心率為
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）點
是直線
上的一個動點，直線
分別交橢圓于
兩點（
四點互不重合），請判斷直線
是否恒過定點.若過定點，求出定點的坐標；否則，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
，且
、
）.設關于
的不等式
的解集為
，且方程
的兩實根為
、
.
（1）若
，完成下列問題：
①求、
的關系式；
②若、都是負整數，求
的解析式；
（2）若
，求證: 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字
，
，
，這三張卡片除標記的數字外完全相同。隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數字依次記為
，
，
.
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數字滿足
”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數字，，不完全相同”的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的六面體中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形ABEF是梯形，
，平面
平面ABEF，BE＝2AF=2，EF
.
（1）在圖中作出平面ABCD與平面DEF的交線，并寫出作圖步驟，但不要求證明；
（2）求證：
平面DEF；
（3）求平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.
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