Question

【題目】已知一動圓P與定圓外切，且與直線相切，記動點P的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）過點作直線l與曲線E交于不同的兩點B、C，設BC中點為Q，問：曲線E上是否存在一點A，使得恒成立？如果存在，求出點A的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，/

【解析】

(1)根據條件可得點P到直線的距離等于到定點的距離.再由拋物線的定義可得拋物線的方程.
(2) 若拋物線上的點滿足，則點在以為直徑的圓上，即.再方程聯立可解.

(1)設圓的圓心為,動圓P的半徑為.

則由動圓P與定圓外切，則，

又動圓P與直線相切，所以點P到直線的距離為，

所以點P到直線的距離等于到定點的距離.

所以點P的軌跡是以為焦點的拋物線，其方程為：.

所以曲線E的方程為：。

（2）由題意B、C兩點在拋物線上，設

設直線的方程為：.

由 有，

.

設滿足條件的點存在，設.

若拋物線上的點滿足，則點在以為直徑的圓上.

即.

所以

，

由題意即是恒成立，可得.

所以

所以拋物線上存在點滿足.