Question

16．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是y₁，y₂萬元，它們與投入資金x萬元的關系分別為y₁=m$\sqrt{x+1}$+a，y₂=bx，（其中m，a，b都為常數），函數y₁，y₂對應的曲線C₁，C₂如圖所示．
（1）求函數y₁與y₂的解析式；
（2）若該商場一共投資10萬元經銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據所給的圖象知，列出關于m，a的方程組$\left\{\begin{array}{l}m+a=0\\ 3m+a=4\end{array}\right.$，解出m，a的值，即可得到函數y₁、y₂的解析式；
（2）對甲種商品投資x（萬元），對乙種商品投資（10-x）（萬元），根據公式可得甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數表達式；再利用配方法確定函數的對稱軸，結合函數的定義域，即可求得總利潤y的最大值．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}m+a=0\\ 3m+a=4\end{array}\right.$，解得m=2，a=-2，…．（2分）
${y_1}=2\sqrt{x+1}-2，（x≥0）$…（3分）
又由題意8b=4得$b=\frac{1}{2}$，${y_2}=\frac{1}{2}x$，（x≥0）…（5分）
（不寫定義域或只寫一個扣一分）
（2）設銷售甲商品投入資金x萬元，則乙投入（10-x）萬元
由（1）得$y=2\sqrt{x+1}-2+\frac{1}{2}（10-x）=2\sqrt{x+1}-\frac{1}{2}x+3，（0≤x≤10）$…（7分）
令$\sqrt{x+1}=t，（1≤t≤\sqrt{11}）$，則有x=t²-1，
$y=2t-\frac{1}{2}（{t^2}-1）+3=-\frac{1}{2}{t^2}+2t+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}{（t-2）^2}+\frac{11}{2}$，$（1≤t≤\sqrt{5}）$…（9分）
當t=2即x=3時，y取最大值$\frac{11}{2}$…（11分）
答：該商場所獲利潤的最大值為$\frac{11}{2}$萬元．（不答扣一分）…（12分）

點評 本題考查了函數模型的構建以及換元法、配方法求函數的最值，體現用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．