Question

16．已知數列{a_n}的前n項和為${S_n}=3{n^2}+8n-6$，{b_n}是等差數列，且a_n=b_n+b_n+1（n≥2）．
（I）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（II）令${c_n}={b_n}•{2^n}+{2^{n+1}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）n≥2時，S_n-1=3（n-1）²+8（n-1），a_n=S_n-S_n-1=6n+5，n=1時，a₁=S₁=5，不滿足a_n=6n+5，即可求得數列{a_n}通項公式，a_n=b_n+b_n+1，n≥2，a_n-1=b_n-1+b_n，n≥3，a_n-a_n-1=b_n+1-b_n-1．即可求得d的值，a₂=b₂+b₃，求得b₂=7，根據等差數列的性質，即可求得數列；
（II）令${c_n}={b_n}•{2^n}+{2^{n+1}}$=3（n+1）•2ⁿ，采用“錯位相減法”即可求得數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）S_n=3n²+8n，
∴n≥2時，S_n-1=3（n-1）²+8（n-1），
a_n=S_n-S_n-1=6n+5，
n=1時，a₁=S₁=5，不滿足a_n=6n+5，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}5（n=1）\\ 6n+5（n≥2）\end{array}\right.$；…（3分）
設{b_n}公差為d，a_n=b_n+b_n+1，n≥2
∴a_n-1=b_n-1+b_n，n≥3
∴a_n-a_n-1=b_n+1-b_n-1．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a₂=b₂+b₃，
∴17=2b2₁+3，
∴b₂=7，
∴b_n=3n+1；…（6分）
（Ⅱ）c_n=3（n+1）•2ⁿ，
∴T_n=3[2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ]①，
∴2T_n=3[2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹]②，
①-②可得-T_n=3[2•2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹]

=6+3×$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-63（n+1）•2ⁿ⁺¹，
=（-3n）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=3n•2ⁿ⁺¹．
數列{c_n}的前n項和T_n，T_n=3n•2ⁿ⁺¹．…（12分）

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查等差數列的通項公式，“錯位相減法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．