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9.方程f(x)=x的根稱為函數f(x)的不動點,若函數$f(x)=\frac{x}{a(x+5)}$有唯一不動點,且x1=1613,${x_{n+1}}=\frac{1}{{f(\frac{1}{x_n})}}$(n∈N*),則x2016=2016.

分析 由題意可知:由$\frac{x}{a(x+5)}$=x,可得ax2+(5a-1)x=0,$f(x)=\frac{x}{a(x+5)}$有唯一不動點,求得a的值,代入函數解析式,由${x_{n+1}}=\frac{1}{{f(\frac{1}{x_n})}}$=$\frac{5{x}_{n}+1}{5}$=xn+$\frac{1}{5}$.則2016=x1+$\frac{1}{5}$×2015=1613+403=2016.

解答 解:由$\frac{x}{a(x+5)}$=x,得ax2+(5a-1)x=0.
∵f(x)有唯一不動點,
∴5a-1=0,即a=$\frac{1}{5}$.
∴f(x)=$\frac{5x}{x+5}$.
∴${x_{n+1}}=\frac{1}{{f(\frac{1}{x_n})}}$=$\frac{5{x}_{n}+1}{5}$=xn+$\frac{1}{5}$.
∴x2016=x1+$\frac{1}{5}$×2015=1613+403=2016.
故答案為:2016

點評 本題主要考查函數不動點的知識、考查數列的函數性質以及等差數列的通項公式的表示法,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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