Question

3．已知點A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），P是平面內的一個動點，直線PA與PB交于點P，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{2}$．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點，當線段MN的中點在直線x+2y=0上時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據斜率之積是-$\frac{1}{2}$．可得動點P的軌跡C的方程
（2）設MN的中點坐標為（x₀，y₀），聯立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$得到（2k²+1）x²+4kx=0，根據根與系數的關系以及點P在直線x+2y=0上即可求出斜率k，問題得以解決．

解答 解：（1）設$P（x，y）（x≠±\sqrt{2}）$，
由${k_{AP}}•{k_{BP}}=\frac{y}{{x+\sqrt{2}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}$，
整理得$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，x≠$±\sqrt{2}$
（2）設MN的中點坐標為（x₀，y₀），
聯立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+4kx=0，
所以${x_0}=\frac{-2k}{{2{k^2}+1}}，{y_0}=k{x_0}+1=\frac{1}{{2{k^2}+1}}$，
由x₀+2y₀=0，得k=1，
所以直線的方程為：y=x+1

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，計算要準確，屬于中檔題．