Question

已知（1+

2

）ⁿ=x_n+y_n

2

，其中x_n，y_n為整數，求n趨于∞時，

xn

yn

的極限．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：根據佩爾方程u²-2v²=1的整數解，基礎解為u=3，v=2，得到

un

vn

的極限顯然與（1+

2

）ⁿ=x_n+y_n

2

，給出的

xn

yn

極限相同，求出即可

解答： 解：慮佩爾方程u²-2v²=1的整數解，
基礎解為u=3，v=2
所以該方程的全部解可以由u_n+v_n

2

=（3+2

2

）ⁿ=（1+

2

）²ⁿ
顯然當n趨于∞時的時候，這個方程給出的

un

vn

的極限顯然與
（1+

2

）ⁿ=x_n+y_n

2

，給出的

xn

yn

極限相同，
而當n趨于∞時，取u²-2v²=1的漸進方程u²-2v²=0
得

u

v

=

2

所以

lim

n→∞

xn

yn

=

2

點評：本題考查了極限的問題，關鍵掌握佩爾方程，屬于中檔題