Question

3．已知x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，y∈R₊，則（x-y）²+（$\sqrt{3-{x}^{2}}$-$\frac{9}{y}$）²的最小值為$21-6\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 分別作y=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，y=$\frac{9}{x}$的圖象，分別取點（x，$\sqrt{3-{x}^{2}}$），（x，$\frac{9}{x}$），視為兩圖象上各取一點的距離，數形結合的思想，利用基本不等式的性質即可求解．

解答 解：分別作y=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，y=$\frac{9}{x}$的圖象，
分別取點（x，$\sqrt{3-{x}^{2}}$），（x，$\frac{9}{x}$），視為兩圖象上各取一點的距離的平方，
設P為y=x與y=$\frac{9}{x}$的交點，
∴PO²=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{81}$=18，即PO=$3\sqrt{2}$．
當且僅當x=3時，取等號．
故得的最小值為（OP-$\sqrt{3}$）²=$21-6\sqrt{6}$．
故答案為：$21-6\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查了數形結合的思想，圖象的做法和兩點之間的距離公式的運用以及基本不等式的性質．屬于中檔題．