Question

11．已知函數f（x）=|x-a|（a∈R）．
（1）當a=2時，解不等式|x-$\frac{1}{3}$|+$\frac{1}{3}$f（x）≥1；
（2）若不等式|x-$\frac{1}{3}$|+$\frac{1}{3}$f（x）≤x的解集包含[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，去掉絕對值，解各個區間上的x的范圍，取并集即可；
（2）問題轉化為x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$|x-a|≤x，求出x的范圍，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=|x-2|，
問題轉化為解不等式|x-$\frac{1}{3}$|+$\frac{1}{3}$|x-2|≥1，
①x≥2時，
x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$（x-2）≥1，
x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$≥1，
解得：x≥$\frac{3}{2}$；
②$\frac{1}{3}$＜x＜2時，
x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$（2-x）≥1，
解得：x≥1，故1≤x＜2；
③x≤$\frac{1}{3}$時，
$\frac{1}{3}$-x+$\frac{1}{3}$（2-x）≥1，
解得：x≤0，
綜上，不等式的解集是：{x|x≤0或x≥1}；
（2）|x-$\frac{1}{3}$|+$\frac{1}{3}$|x-a|≤x的解集包含[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
∴x-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$|x-a|≤x，
故-1≤|x-a|≤1，
解得：-1+a≤x≤1+a，
故$\left\{\begin{array}{l}{-1+a≤\frac{1}{3}}\\{1+a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．