Question

16．已知復數z滿足：|z|=1+3i-z，求$\frac{3+4i}{Z}$的值．

Answer 1

分析 設z=a+bi，（a，b∈R），代入|z|=1+3i-z，利用復數相等的條件列式求得a，b的值，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．

解答 解：設z=a+bi，（a，b∈R），
而|z|=1+3i-z，即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-1-3i+a+bi=0$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a-1=0}\\{b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=3}\end{array}\right.$，∴z=-4+3i．
∴$\frac{3+4i}{z}=\frac{3+4i}{-4+3i}=\frac{（3+4i）（-4-3i）}{（-4+3i）（-4-3i）}$=$\frac{-25i}{25}=-i$．

點評 本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了復數相等的條件，是基礎題．