Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F（1，0），O為坐標原點，A，B是拋物線C異于O的兩點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，求證：直線AB過x軸上一定點．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F（1，0），可得拋物線C的方程；
（2）分類討論，設出直線的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，結合斜率公式，可求直線方程，即可得出結論．

解答 （1）解：因為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），
所以$\frac{p}{2}$=1，所以p=2．
所以拋物線C的方程為y²=4x．
（2）證明：①當直線AB的斜率不存在時，設A（$\frac{{t}^{2}}{4}$，t），B（$\frac{{t}^{2}}{4}$，-t），
因為直線OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，所以$\frac{t}{\frac{{t}^{2}}{4}}•\frac{-t}{\frac{{t}^{2}}{4}}$=-$\frac{1}{3}$，化簡得t²=48．
所以（12，t），B（12，-t），此時直線AB的方程為x=12．----------------（7分）
②當直線AB的斜率存在時，設直線的方程為y=kx+b，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
聯立方程，化簡得ky²-4y+4b=0．------------------（9分）
根據韋達定理得到y_Ay_B=$\frac{4b}{k}$，
因為直線OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，所以得到x_Ax_B+3y_Ay_B=0．--------------------（11分）
得到$\frac{{{y}_{A}}^{2}}{4}•\frac{{{y}_{B}}^{2}}{4}$+2y_Ay_B=0，
化簡得到y_Ay_B=0（舍）或y_Ay_B=-48．--------------------（12分）
又因為y_Ay_B=$\frac{4b}{k}$=-48，b=-12k，
所以y=kx-12k，即y=k（x-12）．
綜上所述，直線AB過定點（12，0）．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．