Question

【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.

（2）求點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，設(shè)直線與直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）的值是定值，且值為

【解析】

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)求得橢圓的方程，再根據(jù)為線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解。

（2）根據(jù)（1）求得直線，點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)，得間的關(guān)系，再計算.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，解得.

故橢圓的方程為.

設(shè)，.易知，

由于點(diǎn)，都在橢圓上，所以，

所以.

因為為線段的中點(diǎn)，

所以.

故直線的方程為，即.

（2）由（1）可知，直線，點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)，，

易知.因為，

所以，得.

因為點(diǎn)在橢圓上，所以，即.

所以，

所以的值是定值，且值為.