Question

已知橢圓 C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）上一點P到它的兩個焦點F₁（左），F₂（右）的距離的和是2

2

，短軸長為2
（1）求橢圓C的標準方程與離心率的值．
（2）若直線PF₁的傾斜角為45⁰，求直線PF₁被橢圓C截的弦長的長度．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）首先，根據焦距和短軸長，求解得到c=

2

，b=1，然后，確定其標準方程；
（2）首先，寫出直線的方程，然后，聯立方程組，利用弦長公式進行求解．

解答： 解：（1）∵2c=2

2

，2b=2，
∴c=

2

，b=1，
∴a=

3

，
∴橢圓C的標準方程

x2

3

+y2=1，
離心率為e=

2

3

=

6

3

．
（2）∵直線PF₁的傾斜角為45⁰，
∴它的斜率為1，
∵F₁（-

2

，0），
∴直線l的方程為：y=x+

2

．
聯立方程組，

y=x+ 2 x2+3y2=3

，
得4x²+6

2

x+3=0，
∴x₁+x₂=

3 2

2

，x₁x₂=

3

4

，
∴弦長

1+1

•

( 3 2 2 )2-4× 3 4

=

3

∴直線PF₁被橢圓C截的弦長的長度

3

．

點評：本題重點考查了直線與橢圓的位置關系、橢圓的標準方程等知識，屬于中檔題．