Question

下列說法錯誤的個數是（　　）
①若數列{a_n}的通項為{a_n}=

1

n(n+1)

，則它的前100項和S₁₀₀=

99

100

②若數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，且當n≥2時，恒有S_n=2a_n，則{a_n}是等比數列．
③如果定義在R上的偶函數f（x）有零點，則它的所有零點之和等于0．
④把函數y=sin（2x+

π

6

）的圖象向右平移

π

4

個長度單位，即可得到y=sin（2x-

π

3

）的圖象．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①由a_n=

1

n(n+1)

，利用“裂項求和”可得它的前100項和S₁₀₀=1-

1

101

=

100

101

；
②當n≥2時，恒有S_n=2a_n，可得a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1，又a₁+a₂=2a₂，可得

a2

a1

=1≠2，因此{a_n}不是等比數列．
③由于所有零點關于原點對稱，即可判斷出．
④把函數y=sin（2x+

π

6

）的圖象向右平移

π

4

個長度單位，即可得到y=sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]=sin（2x-

π

3

）的圖象．

解答： 解：①由a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，則它的前100項和S₁₀₀=1-

1

101

=

100

101

≠

99

100

，不正確；
②當n≥2時，恒有S_n=2a_n，∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，化為a_n=2a_n-1，又a₁+a₂=2a₂，a₁=1，∴a₂=1，

a2

a1

=1≠2，因此{a_n}不是等比數列，不正確．
③如果定義在R上的偶函數f（x）有零點，由于所有零點關于原點對稱，可得它的所有零點之和等于0，正確，
④把函數y=sin（2x+

π

6

）的圖象向右平移

π

4

個長度單位，即可得到y=sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]=sin（2x-

π

3

）的圖象，正確．
綜上可得：錯誤的說法有2個．
故選：C．

點評：本題考查了簡易邏輯的判定、“裂項求和”方法、等比數列的定義及其遞推式的應用、偶函數的零點性質、三角函數的圖象變換，考查了推理能力與計算能力，所有中檔題．