【題目】設函數
.
（1）若直線
是函數
圖象的一條切線，求實數
的值；
（2）若函數
在
上的最大值為
（
為自然對數的底數），求實數
的值；
（3）若關于
的方程
有且僅有唯一的實數根，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
.
【解析】試題分析：（1）可設切點坐標
，切點坐標滿足函數方程，且有
．解方程組可得
的值；（2）函數求導后，對
分類討論原函數的單調性，求得函數的最大值，建立關于
的方程，解得
值；（3）對原方程進行配湊可得
，構造函數
方程
在
上有且僅有唯一實數根，利用一元二次函數根的分布問題可得結果．
試題解析：（1）
， 
，
設切點橫坐標為
，則
消去
，得
，故
，得
.
（2）
， 
， 
，
①當
時， 
在
上恒成立， 
在
上單調遞增，
則
，得
，舍去；
②當
時， 
在
上恒成立， 
在
上單調遞減，
則
，得
，舍去；
③當
時，由
，得
；由
，得
.
故
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
則
，得
，
設
， 
，則
， 
，
當
時， 
， 
單調遞減，
當
時， 
， 
單調遞增，
故
， 
的解為
.
綜上①②③，
.
（3）方程
可化為：
，
令
，故原方程可化為
，
由（2）可知
在
上單調遞增，故
有且僅有唯一實數根，即方程
（ж）在
上有且僅有唯一實數根，
①當
，即
時，方程（※）的實數根為
，滿足題意；
②當
，即
時，方程（※）有兩個不等實數根，
記為
， 
，不妨設
， 
，
Ⅰ）若
， 
，代入方程（※）得
，得
或
，
當
時方程（※）的兩根為0，1，符合題意；
當
時方程（※）的兩根為2，-1，不合題意，舍去；
Ⅱ）若
， 
，設
，則
，得
；
綜合①②，實數
的取值范圍為
或
.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知下圖中，四邊形 ABCD是等腰梯形， 
， 
， 
于M、交EF于點N， 
， 
，現將梯形ABCD沿EF折起，記折起后C、D為
、
且使
，如圖示．
(Ⅰ)證明： 
平面ABFE；,
(Ⅱ)若圖6中， 
，求點M到平面
的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校為了了解高三學生每天自主學習中國古典文學的時間，隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調查，其中每天自主學習中國古典文學的時間超過3小時的學生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調查結果如表：
古文迷 | 非古文迷 | 合計 | |
男生 | 26 | 24 | 50 |
女生 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 56 | 44 | 100 |
（Ⅰ）根據表中數據能否判斷有
的把握認為“古文迷”與性別有關？
（Ⅱ）現從調查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行調查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數；
（Ⅲ）現從（Ⅱ）中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行調查，記這3人中“古文迷”的人數為
，求隨機變量
的分布列與數學期望．
參考公式： 
，其中
．
參考數據：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在四棱錐
中，底面
是矩形，且
，
，
平面
，
、
分別是線段
、
的中點．
（1）證明：
（2）在線段
上是否存在點
，使得
∥平面
，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．
（3）若
與平面
所成的角為
，求二面角
的余弦值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若不等式（1－a）x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．
（1）解不等式2x2＋（2－a）x－a>0；
（2）b為何值時，ax2＋bx＋3≥0的解集為R.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l與圓C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M（0，1）．
（1）若圓C的半徑為
，求實數a的值；
（2）若弦AB的長為6，求實數a的值；
（3）當a=1時，圓O：x2+y2=2與圓C交于M，N兩點，求弦MN的長．
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