Question

（2003•上海）如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．

（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最最小？（半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高．本題結果精確到0.1米）

 

Answer 1

（1）33.3米；（2）故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小．

【解析】

試題分析：（1）根據題意，建立坐標系，可得P的坐標并設出橢圓的方程，將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得，依題意，可得l=2a，計算可得答案；

（2）根據題意，設橢圓方程為，將（11，4.5）代入方程可得，結合基本不等式可得，分析可得當ab≥99且l=2a，h=b時，，進而分析可得答案．

【解析】
（1）如圖建立直角坐標系，則點P（11，4.5），

橢圓方程為．

將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，

得，

此時此時

因此隧道的拱寬約為33.3米；

（2）由橢圓方程，

根據題意，將（11，4.5）代入方程可得．

因為

即ab≥99且l=2a，h=b，

所以

當S取最小值時，

有，

得，

此時，h=b≈6.4

故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小．