Question

根據(jù)我國(guó)汽車制造的現(xiàn)實(shí)情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m．現(xiàn)要設(shè)計(jì)橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛．已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通過(guò)的a的最小整數(shù)值．

 

Answer 1

14m

【解析】

試題分析：根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，卡車通過(guò)隧道時(shí)應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4m到2m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過(guò)，取決于距隧道中線2m（即在橫斷面上距拱口中點(diǎn)2m）處隧道的高度是否夠3m，據(jù)此可通過(guò)建立坐標(biāo)系，確定出拋物線的方程后求得．

【解析】
如圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可得拋物線的方程為x2=﹣2p（y﹣），

∵點(diǎn)A（﹣，0）在拋物線上，

∴（﹣）2=﹣2p（0﹣），得p=．

∴拋物線方程為x2=﹣a（y﹣）．

取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程，得

22=﹣a（y﹣），y=．

由題意，令y＞3，得＞3，

∵a＞0，∴a2﹣12a﹣16＞0．

∴a＞6+2．

又∵a∈Z，∴a應(yīng)取14，15，16，．

答：滿足本題條件使卡車安全通過(guò)的a的最小正整數(shù)為14m．