Question

15．設f（x）是定義在R上的函數，其導函數為f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）=11，則不等式f（x）＞$\frac{{e}^{x}+10}{{e}^{x}}$（其中e為自然對數的底數）的解集為（　　）

• A． （10，+∞）
• B． （-∞，0）∪（11，+∞）
• C． （-∞，11）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解．

解答 解：設g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＜1，
∴f（x）+f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞減，
∵f（x）＞$\frac{{e}^{x}+10}{{e}^{x}}$，
∴e^xf（x）-e^x＞10，
∴g（x）＞10，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=11-1=10，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0，
∴不等式的解集為（-∞，0）
故選：D．

點評 本題考查函數的導數與單調性的結合，結合已知條件構造函數，然后用導數判斷函數的單調性是解題的關鍵．