Question

設 圓與軸正半軸的交點為，與曲線的交點為，直線與軸的交點為．

（1）用表示和

（2）若數列滿足

（1）求常數的值，使得數列成等比數列；

（2）比較與的大小．

 

Answer 1

（1），；（2）當時，數列成公比為4的等比數列；當時，數列成公比為2的等比數列．．

【解析】

試題分析：本題主要考查曲線與圓相交問題、直線的方程、等比數列的證明、利用導數判斷函數的單調性等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，點N代入到曲線和圓中，聯立得到，由于直線MN過M、A點，從而得到直線MN的方程，N點也在MN上，代入MN方程中，經整理得到的表達式；第二問，（ⅰ）利用等比數列的定義知為等比數列，利用等比數列的通項公式，經過化簡得，利用的通項公式和為等比數列列出2個關系式，利用2個式子是q倍的關系，解出p和q的值；（ⅱ）利用可以猜想，即需要證，構造函數，利用導數判斷函數的單調性，從而確定，即，所以．

試題解析：（1）與圓交于點，則，即．由題可知，點的坐標為，從而直線的方程為，由點在直線上得，將，代入，

得 ,

即 4分

（2）由知，為等比數列，由， 知，公比為4，故，所以 5分

（1）

令得

由等式

對于任意成立，得

解得或 8分

故當時，數列成公比為4的等比數列；

當時，數列成公比為2的等比數列． 9分

（2）由（1）知，當時，；當時， 事實上，令，則 故

是增函數，所以，即

即 ． 14分

考點：曲線與圓相交問題、直線的方程、等比數列的證明、利用導數判斷函數的單調性．