Question

4．已知$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$\frac{sinβ}{sinα}=cos（{α+β}）$，
（1）若 $α=\frac{π}{6}$，則tanβ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（2）tanβ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）將 $α=\frac{π}{6}$，帶入計算即可．
（2）根據(jù)$\frac{sinβ}{sinα}=cos（{α+β}）$化簡可得tanβ=$\frac{\frac{1}{2}sin2α}{1+si{n}^{2}α}$看成是圓心為（0，0），半徑r=1的圓與點（3，0）的斜率問題，可得結(jié)論．

解答 解：由$\frac{sinβ}{sinα}=cos（{α+β}）$，化簡可得：sinβ（1+sin²α）=$\frac{1}{2}$sin2αcosβ，則tanβ=$\frac{\frac{1}{2}sin2α}{1+si{n}^{2}α}$
（1）若 $α=\frac{π}{6}$，則tanβ=$\frac{\frac{1}{2}sin\frac{π}{3}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{5}$．
∵tanβ=$\frac{\frac{1}{2}sin2α}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$=$-\frac{-sin2α}{3-cos2α}$，看成是圓心為（0，0），半徑r=1的圓與點（3，0）的斜率問題，
直線過（3，0），設(shè)方程為y=k（x-3），
d=r=1，即1=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
解得k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴tanβ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考察了同角三角函數(shù)關(guān)系式和最值的轉(zhuǎn)化思想，斜率的應(yīng)用，圓心到直線的距離共識，屬于中檔題．