Question

2．設函數y=log_a（$\frac{x-3}{x+3}$）（a＞0，且a≠1）的定義域為[s，t），值域為（log_aa（t-1），log_aa（s-1）]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分析出函數的單調性，進而判斷出底數的取值范圍，進而根據函數的定義域為值域構造出方程組，將其轉化為整式方程組后，構造函數，利用二次函數的圖象和性質可得答案．

解答 解：∵s＜t
∴at-a＞as-a
又∵log_aa（t-1）＜log_aa（s-1），
∴0＜a＜1
又∵u=$\frac{x-3}{x+3}$=1-$\frac{6}{x+3}$在[s，t）上單調遞增
∴y=log_a$\frac{x-3}{x+3}$在[s，t）上單調遞減
∴$\frac{x-3}{x+3}$=ax-a有兩個大于3的相異的根
即ax²+（2a-1）x+3-3a=0有兩個大于3的相異的根
令h（x）=ax²+（2a-1）x+3-3a，
則$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\△=1-4a（2-a）＞0\\ h（3）=12a＞0\\ \frac{-2a-1}{2a}＞3\end{array}\right.$
解得0＜a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，復合函數的單調性，方程根與函數零點的關系，二次函數的圖象和性質，是函數問題比較綜合的應用．