Question

10．設(shè)函數(shù)y=f（x）在[-3，3]上是奇函數(shù)，且對(duì)任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-2：
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求不等式f（x-1）＞4的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，即可得出．
（Ⅱ）結(jié)論：函數(shù)f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞減的，如下：任取-3≤x₁＜x₂≤3，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，即可判斷出結(jié)論．
（Ⅲ）由于f（2）=-4，不等式f（x-1）＞4等價(jià)于f（x-1）＞-f（2）=f（-2），又根據(jù)函數(shù)f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞減，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1得：f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4．
（Ⅱ）結(jié)論：函數(shù)f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞減的，證明如下：
任取-3≤x₁＜x₂≤3，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
故函數(shù)f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞減．
（Ⅲ）由于f（2）=-4，
∴不等式f（x-1）＞4等價(jià)于f（x-1）＞-f（2）=f（-2），
又∵函數(shù)f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x-1≤3}\\{x-＜-2}\end{array}\right.$，解得-2≤x＜-1，
故原不等式的解集為[-2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．