Question

3．直線l與拋物線y²=6x交于A，B兩點，圓（x-6）²+y²=r²與直線l相切于點M，且M為線段AB的中點．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）
• C． （3，$2\sqrt{3}$）
• D． （3，3$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 先確定M的軌跡是直線x=3，代入拋物線方程可得y=±3$\sqrt{2}$，利用M在圓上，（x₀-6）²+y₀²=r²，r²=y₀²+9≤18+9=27，即可得出結論．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在時，設斜率為k，則y₁²=6x₁，y₂²=6x₂，
相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=6（x₁-x₂），
當l的斜率存在時，利用點差法可得ky₀=3，
因為直線與圓相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-6}=-\frac{1}{k}$，所以x₀=3，
即M的軌跡是直線x=3．
將x=3代入y²=6x，得y²=18，
∴-3$\sqrt{2}$＜y₀＜3$\sqrt{2}$，
∵M在圓上，
∴（x₀-6）²+y₀²=r²，
∴r²=y₀²+9≤18+9=27，
∵直線l恰有4條，
∴y₀≠0，
∴9＜r²＜27，
故3＜r＜3$\sqrt{3}$時，直線l有2條；
斜率不存在時，直線l有2條；
所以直線l恰有4條，3＜r＜3$\sqrt{3}$，
故選：D．

點評 本題考查直線與拋物線、圓的位置關系，考查點差法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．