Question

11．數列{a_n}中，a₁=-1，S_n為數列{a_n}的前n項和，且對任意的n≥2，都有${S_n}^2-{a_n}{S_n}=2{a_n}$，則{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 把a_n=S_n-S_n-1代入${S_n}^2-{a_n}{S_n}=2{a_n}$化簡即可得出{$\frac{2}{{S}_{n}}$}是等差數列，從而求出S_n，再利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n即可．

解答 解：∵${S_n}^2-{a_n}{S_n}=2{a_n}$，
∴S_n²=2a_n+a_nS_n=a_n（2+S_n）=（S_n-S_n-1）（2+S_n）=S_n²+2S_n-2S_n-1-S_nS_n-1，
∴2S_n-2S_n-1-S_nS_n-1=0，
∴$\frac{2}{{S}_{n-1}}-\frac{2}{{S}_{n}}-1=0$，即$\frac{2}{{S}_{n}}-\frac{2}{{S}_{n-1}}=-1$，
又$\frac{2}{{S}_{1}}$=-2，
∴{$\frac{2}{{S}_{n}}$}是以-2為首項，以-1為公差的等差數列，
∴$\frac{2}{{S}_{n}}$=-2-（n-1）=-n-1，
∴S_n=$\frac{-2}{n+1}$，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{-2}{n+1}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$．
綜上，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：${a_n}=\left\{\begin{array}{l}-1，n=1\\ \frac{2}{n（n+1）}，n≥2\end{array}\right.$；

點評 本題考查了等差關系的確定，數列通項公式的求法，屬于中檔題．