Question

15．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題設知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由|PF|-|PF'|=2a，知b=2a，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|=b，
∵$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），則），∴|PF|=2b，|PF'|=2a，
∵|PF|-|PF'|=2a，∴b=2a，
e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}=\sqrt{5}$，
故選：C

點評 本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，考查雙曲線的定義，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．