Question

11．已知實系數方程x²+ax+2b=0的兩根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂＜2，則a²+b²的取值范圍是（1，10）．

Answer 1

分析 由題意可推出a，b 滿足的條件，畫出約束條件的可行域，結合a²+b²的幾何意義，求出范圍即可．

解答 解：實系數方程x²+ax+2b=0的兩根為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{1+a+2b＜0}\\{2b≥0}\\{4+2a+2b≥0}\end{array}\right.$，
a²+b²的幾何意義是，約束條件內的點與（0，0）連線距離的平方，
畫出可行域如圖，點M（-3，1）和點N（-1，0）的坐標為最優解，
∴a²+b²的取值范圍是（1，10）
故答案為（1，10）．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想．還考查線性規劃的應用，考查計算能力．注意正確做出約束條件的可行域，是解題的關鍵．