Question

4．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F與雙曲線4x²-12y²=3的右焦點重合，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，過A作AB垂直M于y軸，垂足為B．OB的中點為M
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）以點M為圓心，MB為半徑作圓M．當K（m，0）是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出雙曲線4x²-12y²=3的右焦點坐標，即可求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求出圓心M（0，2）到直線AK的距離，即可討論直線AK與圓M的位置關系．

解答 解：（Ⅰ）設雙曲線4x²-12y²=3的右焦點坐標為F（c，0），
由4x²-12y²=3得$\frac{x^2}{{\frac{3}{4}}}-\frac{y^2}{{\frac{1}{4}}}=1$，∴$c=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$．（2分）
∴$\frac{p}{2}=1$，即p=2，故拋物線的標準方程為y²=4x．（4分）
（Ⅱ）∵點A的橫坐標為4，且位于x軸上方的點，∴y=4
∴點A的坐標是（4，4），由題意得B（0，4），M（0，2）．（5分）
∴圓M的圓心是點（0，2），半徑為2．
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時直線AK與圓M相離．（6分）
當m≠4時，直線AK的方程為$y=\frac{4}{4-m}（x-m）$，
即為4x-（4-m）y-4m=0．（7分）
圓心M（0，2）到直線AK的距離為$d=\frac{{|{2m+8}|}}{{\sqrt{16+{{（m-4）}^2}}}}$，（8分）
令d＞2，解得m＞1．（9分）
∴當m＞1時，直線AK與圓M相離；（（10分））
當m=1時，直線AK與圓M相切； （11分）
當m＜1時，直線AK與圓M相交．（12分）

點評 本題考查雙曲線、拋物線的方程與性質，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．