Question

17．已知不等式x²+mx+3≤0的解集為A=[1，n]，集合B={x|x²-ax+a≤0}．
（1）求m-n的值；
（2）若A∪B=A，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用韋達定理，求出m，n，即可求m-n的值；
（2）若A∪B=A，B⊆A，分類討論求a的取值范圍．

解答 解：（1）∵不等式x²+mx+3≤0的解集為A=[1，n]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+n=-m}\\{1•n=3}\end{array}\right.$，∴m=-4，n=3，
∴m-n=-7；
（2）A∪B=A，∴B⊆A．
①B=∅，△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4；
②B≠∅，設(shè)f（x）=x²-ax+a，則$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{1≤\frac{a}{2}≤3}\\{f（1）=1≥0}\\{f（3）=9-2a≥0}\end{array}\right.$，∴4≤a≤$\frac{9}{2}$，
綜上所述，0＜a≤$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查集合的關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．