Question

9．在數列{x_n}中，若x₁=1，x_n+1=$\frac{1}{{{x_n}+1}}$-1，則x₂₀₁₅=（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由x_n+1+1=$\frac{1}{{{x_n}+1}}$，（x_n+1+1）（x_n+1）=1，令b_n=x_n+1，則有 b_n•b_n+1=1，則b_n與b_n+1互為倒數關系，而由 x₁=1，則b₁=2，則 b₂=$\frac{1}{2}$，同理 b₃=2，b₄=$\frac{1}{2}$，…，b₂₀₁₅=2，則x₂₀₁₅=1．

解答 解：由 x_n+1=$\frac{1}{{{x_n}+1}}$-1，整理得：x_n+1+1=$\frac{1}{{{x_n}+1}}$，即有 （x_n+1+1）（x_n+1）=1，令b_n=x_n+1，則有 b_n•b_n+1=1，
則b_n與b_n+1互為倒數關系，而由 x₁=1，則b₁=2，則 b₂=$\frac{1}{2}$，
同理 b₃=2，b₄=$\frac{1}{2}$，…，因此b₂₀₁₅=2，
∴x₂₀₁₅+1=2，
故x₂₀₁₅=1，
故選：D．

點評 本題考查數列的遞推公式，考查數列的性質，數列的周期性，考查計算能力，屬于中檔題．