Question

8．已知公差不為零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₅+S₇=74，a₄是a₁和a₁₃的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}是首項和公比均為3的等比數列，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），由已知列式求出首項和公差，代入等差數列的通項公式得答案；
（2）寫出等比數列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的通項公式，得到b_n的通項公式，再由錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），
由a₅+S₇=74，a₄是a₁和a₁₃的等比中項，得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d+7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=74}\\{（{a}_{1}+3d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+12d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）∵{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}是首項和公比均為3的等比數列，
∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}={3}^{n}$，則$_{n}={3}^{n}{a}_{n}=（2n+1）•{3}^{n}$．
∴T_n=3•3¹+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，
$3{T}_{n}=3•{3}^{2}+5•{3}^{3}+…+（2n-1）•{3}^{n}+（2n+1）•{3}^{n+1}$，
兩式作差得：$-2{T}_{n}=9+2（{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}）-（2n+1）•{3}^{n+1}$
=$9+2•\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-（2n+1）•{3}^{n+1}$=9-9+3ⁿ⁺¹-2n•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹=-2n•3ⁿ⁺¹．
∴${T}_{n}=n•{3}^{n+1}$．

點評 本題是等差數列與等比數列的綜合題，考查了等差數列通項公式的求法，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．