Question

3．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱AB上的動點．
（Ⅰ）求證：DA₁⊥ED₁；
（Ⅱ）若E為AB中點時，求二面角D₁-EC-D的余弦值；
（Ⅲ）寫出點E到直線D₁C距離的最大值及此時點E的位置（結論不要求證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明DA₁⊥ED₁．
（Ⅱ）求出平面CED₁的一個法向量和平面CED的一個法向量，利用向量法能求出二面角D₁-EC-D的余弦值．
（Ⅲ）點E在點A處時，點E到直線D₁C距離取最大值．

解答 （本小題滿分9分
證明：（Ⅰ）在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），
A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，1，0），D₁（0，0，1），
A₁（1，0，1），
設E（1，m，0），（0≤m≤1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-1，-m，1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=-1+0+1=0，
∴DA₁⊥ED₁．
解：（Ⅱ）E為AB中點時，E（1，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{CE}$=（1，-$\frac{1}{2}$，0），
設平面CED₁的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x-\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，2），
平面CED的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角D₁-EC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，
∴二面角D₁-EC-D的余弦值為$\frac{2}{3}$．
（Ⅲ）點E到直線D₁C距離的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，此時點E在點A處．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點到直線的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．