【題目】已知橢圓
的中心在坐標原點
，其焦點與雙曲線
的焦點重合，且橢圓的短軸的兩個端點與其一個焦點構成正三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）過雙曲線
的右頂點
作直線
與橢圓交于不同的兩點
.
①設
，當
為定值時，求
的值；
②設點
是橢圓上的一點，滿足
，記
的面積為
的面積為
，求
的取值范圍.
【答案】(1) 
；(2) ①.
；②. 
.
【解析】
試題分析：
(1)由題意結合幾何關系可求得
.則橢圓的方程為.
(2)①.由題意可得雙曲線
右頂點為
.分類討論：
當直線
的斜率存在時，聯立直線方程與橢圓方程有
，則時
為定值
.當直線的斜率不存在時，也滿足，則當時為定值.
②.當直線斜率存在時，由題意結合平行關系可得
.換元后利用二次函數的性質可得
，當直線的斜率不存在時，
，則
的取值范圍是.
試題解析：
（1）由題意得橢圓的焦點在
軸上，設方程為
，
其左右焦點為
，所以
，
又因為橢圓的短軸的兩個端點與
構成正三角形，所以
又因為
，所以.
所以橢圓的方程為.
（2）①雙曲線右頂點為.
當直線的斜率存在時，設的方程為
由
得
設直線與橢圓
交點
，
則
，
則
，
所以
當
，即時為定值.
當直線的斜率不存在時，直線的方程為
由
得
，不妨設
，由
可得.
，所以
.
綜上所述當時為定值.
②因為
，所以
，所以
，
因為
原點
到直線
的距離為
，
所以
.
令
，則
，所以
因為
，所以
，所以
，所以
當直線的斜率不存在時，
綜上所述的取值范圍是.
開心蛙狀元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設關于
的一元二次方程
．
（1）若
是從0，1，2，3，4五個數中任取的一個數，
是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率；
（2）若是從區間
上任取的一個數，是從區間
上任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,四邊形
中, 
= 
=
= 
分別在
上, 
,現將四邊形
沿
折起,使
.
(1)若
,在折疊后的線段
上是否存在一點
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由;
(2)求三棱錐
的體積的最大值,并求出此時點
到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，| 
|=5，20a 
+15b 
+12c = 
， 
=2 
，則 
的值為（ ）
A.
B.﹣ 
C.﹣
D.﹣8
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知圓
的圓心在直線
上，且過點
，與直線
相切．
（
）求圓的方程．
（
）設直線
與圓相交于
，
兩點．求實數
的取值范圍．
（
）在（）的條件下，是否存在實數，使得弦
的垂直平分線
過點
，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法：①殘差可用來判斷模型擬合的效果;
②設有一個回歸方程
，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；
③線性回歸方程
必過
；
④在一個2×2列聯表中，由計算得
=13.079，則有99%的把握確認這兩個變量間有關系（其中
）；
其中錯誤的個數是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
： 
（
）的焦點為
，點
在拋物線
上，且
，直線
與拋物線
交于
， 
兩點， 
為坐標原點.
（1）求拋物線
的方程；
（2）求
的面積.
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