Question

如圖，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AB=BC=a，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：作圖，分別取PA、AB、BC的中點D、E、F，連結DE、DF、EF、AF，則DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其補角即為所求，由PA=AB=BC=a，利用勾股定理及余弦定理即可求得cos∠DEF，從而求得異面直線PB與AC所成角的正切值．

解答： 解：如圖所示：分別取PA、AB、BC的中點D、E、F，連結DE、DF、EF、AF，

則DE‖PB，EF‖AC，所以∠DEF或其補角即為所求，
∵PA=AB=BC=a，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∴△PAB，△ABC均為Rt△，
所以DE=EF=

2

2

a，DF=

DA2+AF2

=

DA2+AB2+BF2

=

6

2

a，
根據c²=a²+b²-2abcosC可得cos∠DEF=

1

2

，
所以∠DEF=

π

3

，
所以tan∠DEF=

3

，
所以PB與AC的夾角的正切值為

3

．
故答案為：

3

；

點評：本題考查線面垂直的性質及異面角的求解，異面角的常用求解方法有：①平移法：通過平移直線把空間角轉化為平面角求解，其步驟為：一作、二證、三求；②向量法：轉化為相應直線的方向向量的夾角求解；注意異面角的范圍：（0，

π

2

]．