Question

如圖，若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2，高為4，則異面直線BD₁與AD所成角的正弦值是

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：根據正四棱柱的幾何特征，我們易根據AD∥BC，得到∠D₁BC即為異面直線BD₁與AD所成角，根據已知中正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2，高為4，求出△D₁BC中各邊的長，解△D₁BC即可得到答案．

解答： 解：∵AD∥BC
∴∠D₁BC即為異面直線BD₁與AD所成角，

連接D₁C，在△D₁BC中，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2，高為4，
∴D₁B=2

6

，BC=2，D₁C=2

5

∴sin∠D₁BC=

D1C

D1B

=

2 5

2 6

=

30

6

，
故異面直線BD₁與AD所成角的正弦值是

30

6

，
故答案為：

30

6

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中根據已知條件確定找到兩條異面直線夾角是解答本題的關鍵．