Question

在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

b2-a2-c2

ac

=

cos(A+C)

sinAcosA

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式左邊利用余弦定理化簡，右邊分子利用誘導公式化簡，分母利用二倍角的正弦函數公式化簡，根據cosB不為0求出sin2A的值，即可確定出角A的度數；
（Ⅱ）利用三角形面積公式表示出S，把sinA的值代入，由a與cosA的值，利用余弦定理列出關系式，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

b2-a2-c2

ac

=

cos(A+C)

sinAcosA

，
∴-2cosB=

-2cosB

sin2A

，
∵B是銳角，∴cosB≠0，
∴sin2A=1，
∵0＜A＜

π

2

，即0＜2A＜π，
∴2A=

π

2

，即A=

π

4

；
（Ⅱ）∵sinA=

2

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

4

bc，
∵a=2，cosA=

2

2

，
∴由余弦定理得：2²=b²+c²-2bc×

2

2

≥2bc-

2

bc，
∴（2-

2

）bc≤4，即bc≤2（2+

2

），
∴S_△ABC=

2

4

bc≤

2

4

×2（2+

2

）=

2

+1，
∴S_△ABC的面積的最大值為

2

+1．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．