Question

如圖，有一塊扇形草地OMN，已知半徑為R，∠MON=

π

2

，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地ABCD作為兒童樂園使用，其中點(diǎn)A、B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN
（1）若點(diǎn)A為弧MN的一個三等分點(diǎn)，求矩形ABCD的面積S；
（2）當(dāng)A在何處時，矩形ABCD的面積S最大？最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積公式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）作OH⊥AB于點(diǎn)H，交線段CD于點(diǎn)E，連接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面積S；
（2）設(shè)∠AOB=θ（0＜θ＜

π

2

），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面積S，再求最大值．

解答： 解：（1）如圖，作OH⊥AB于點(diǎn)H，交線段CD于點(diǎn)E，連接OA、OB，
∴∠AOB=

π

6

，
∴AB=2Rsin

π

12

，OH=Rcos

π

12

，
OE=DE=

1

2

AB=Rsin

π

12

，
∴EH=OH-OE=R（cos

π

12

-sin

π

12

），
S=AB•EH=R²（2sin

π

12

cos

π

12

-sin²

π

12

）=

3 -1

2

R2，

（2）設(shè)∠AOB=θ（0＜θ＜

π

2

），
則AB=2Rsin

θ

2

，OH=Rcos

θ

2

，oe=

1

2

AB=Rcos

θ

2

，OE=

1

2

AB=Rsin

θ

2

，
∴EH=OH-OE=R（cos

θ

2

-sin

θ

2

），
S=AB•EH=R²（2sin

θ

2

cos

θ

2

-sin²

θ

2

）=R²（sinθ+cosθ-1）=R²[

2

sin（θ+

π

4

）-1]，
∵0＜θ＜

π

2

，
∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，
∴θ+

π

4

=

π

2

即θ=

π

4

時，
S_max=（

2

-1）R²，此時A在弧MN的四等分點(diǎn)處．
答：當(dāng)A在弧MN的四等分點(diǎn)處時，S_max=（

2

-1）R²．

點(diǎn)評：本題考查扇形的面積公式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．