Question

19．已知數列{a_n}的通項公式${a_n}={log_2}\frac{n}{n+1}（n∈{N^*}）$，設其前n項和為S_n，則使S_n＞-4成立的自然數n有（　�。�

• A． 最大值14
• B． 最小值14
• C． 最大值15
• D． 最小值15

Answer 1

分析 a_n=log₂$\frac{n}{n+1}$log₂n-log₂（n+1），運用裂項相消求和求得S_n=-log₂（n+1），再由對數不等式的解法可得n的范圍，進而得到n的最大值

解答 解：a_n=log₂$\frac{n}{n+1}$log₂n-log₂（n+1），
即有前n項和為S_n=log₂1-log₂2+log₂2-log₂3+…+log₂n-log₂（n+1）
=-log₂（n+1），
由S_n＞-4，即為log₂（n+1）＜4，
解得n+1＜16，即有n＜15，
則n的最大值為14．
故選：A

點評 本題考查數列的求和方法：裂項相消求和，考查對數的運算性質和不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．