Question

已知函數f（x）=lg

1-x

x+1

（-1＜x＜1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）是區間（-1，1）上的單調減函數；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的值域,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據復合函數單調性的關系即可證明f（x）是區間（-1，1）上的單調減函數；
（3）利用對數函數的圖象和性質即可求函數f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（-x）=lg

1+x

-x+1

=lg（

1-x

x+1

）^-1=-lg

1-x

x+1

=-f（x），
則f（x）為奇函數；
（2）

1-x

x+1

=

2-(x+1)

x+1

=

2

x+1

-1，
∵-1＜x＜1，∴y=

2

x+1

為減函數，
y=

2

x+1

-1為減函數，
∵y=lgx為增函數，
∴根據復合函數單調性之間的關系可知f（x）=lg

1-x

x+1

（-1＜x＜1）是區間（-1，1）上的單調減函數；
（3）∵

1-x

x+1

=

2-(x+1)

x+1

=

2

x+1

-1，
∵-1＜x＜1，∴

2

x+1

-1＞0，
∴f（x）=lg

1-x

x+1

∈（-∞，+∞），
故函數f（x）的值域為（-∞，+∞）．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性，值域的判斷，利用對數函數的性質是解決本題的關鍵．