Question

16．（1）已知冪函數f（x）=（-2m²+m+2）x^-2m+1為偶函數，求函數f（x）的解析式；
（2）已知x+x^-1=3（x＞1），求x²-x^-2的值．

Answer 1

分析 （1）根據冪函數的定義以及函數的奇偶性求出m的值，從而求出函數的解析式即可；
（2）法一：求出x+x^-1，x-x^-1，代入求值即可；法二：求出x的值，代入求值即可；法三：求出x+x^-1，代數式變形平方即可．

解答 解：（1）由f（x）為冪函數知-2m²+m+2=1，得m=1或m=-$\frac{1}{2}$…（2分）
當m=1時，f（x）=x^-1，是奇函數，不符合題意，舍去…（3分）
當m=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=x²，是偶函數，符合題意，…（4分）
∴f（x）=x²…（5分）
（2）因為x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1），
（x-x^-1）²=（x+x^-1）²-4，
又因為x+x^-1=3，
∴（x+x^-1）²=（x+x^-1）²-4=5，
又因為x＞1，所以x-x^-1＞0，
即x-x^-1=$\sqrt{5}$，
所以x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1）=3$\sqrt{5}$…（10分）
另解法2：由x+x^-1=3，（x＞1），得x²-3x+1=0，即x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
所以x²-x^-2=${（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）}^{2}$-${（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）}^{-2}$=$\frac{14+6\sqrt{5}}{4}$-$\frac{4}{14+6\sqrt{5}}$=$\frac{14+6\sqrt{5}}{4}$-$\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$=3$\sqrt{5}$…（10分）
法3：由x+x^-1=3，得（x+x^-1）²=x²+x^-2+2=9，
所以x²+x^-2=7，
因為x²-x^-2＞0，
所以（x²-x^-2）²=（x²+x^-2）²-4=45，
即x²-x^-2=3$\sqrt{5}$…（10分）

點評 本題考查了冪函數的定義，考查函數的奇偶性問題，考查代數式求值問題，是一道中檔題．