Question

4．函數f（x）=sinx-cosx+x+1在$[{\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上的最大值為π+2．

Answer 1

分析 將函數f（x）化簡，求導函數，利用導函數的性質判斷函數f（x）的單調性，可得在$[{\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上的最大值．

解答 解：函數f（x）=sinx-cosx+x+1=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+x+1．
則f′（x）=$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）+1，
∵x∈$[{\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}}]$，
∴x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
令 f′（x）=0．
則：x=π或$\frac{3π}{2}$．
當x∈（$\frac{3π}{4}$，π）時，f′（x）＞0，則f（x）在x∈（$\frac{3π}{4}$，π）上單調遞增，
當x∈（π，$\frac{3π}{2}$）時，f′（x）＜0，則f（x）在x∈（π，$\frac{3π}{2}$）上單調遞減．
∴當x=π，函數f（x）取得最大值為：π+2．
故答案為：π+2．

點評 本題考查了三角函數的導函數的運用和化簡計算能力．屬于中檔題．