Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分線，且.

（1）求k的取值范圍；

（2）若，求k為何值時，BC最短.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）（方法一）利用正弦定理在△ABC和△ACD中分別建立等式,通過整理便可得到k關于角的關系式；

（方法二）AD將△ABC一分為二,即以AD為界將△ABC分成兩個三角形,通過面積相等建立等式；

（方法三）利用余弦定理在△ABC和△ACD中分別建立等式,通過整理便可得到k關于角的關系式；

（2）在,由余弦定理可得,根據三角形面積公式可得,則,記,則,可整理為,進而求得滿足最值的條件即可

（1）方法一：由AD是∠BAC的平分線,可得,則,

在△ABC中,由正弦定理得①,

在△ACD中,由正弦定理得②,

由①②得,

又,,

所以,則,

因為,所以

方法二：由,

得,

又,,整理得,

因為,所以

方法三：在△ADC中,,

在△ABD中,,

又,則,

解得,

因為,所以

（2）由余弦定理得,

因為,所以,即,

故,

記,則,

（其中）,

故當時,y取得最小值3,此時,

又由（1）知,

而,

則,故,

即當時,BC最短