Question

【題目】在菱形中，且，點分別是棱的中點，將四邊形沿著轉動，使得與重合，形成如圖所示多面體，分別取的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求與平面所成的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）與平面所成的正弦值為.

【解析】

（Ⅰ）先證明平面，平面，從而得證平面平面，故平面；（Ⅱ）以為原點，如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與，帶入公式得到與平面所成的正弦值.

（Ⅰ）取中點，連接，由分別是的中點

，

又，平面，平面，又

平面平面，又平面

平面.

（Ⅱ）取中點，設交于點

，又平面平面

平面，在菱形中，

以為原點，如圖建立空間直角坐標系，

過作，垂足為， 顯然為中點，，

則，，

，設平面的法向量為，，，由得，令得，

，又 ，

，即與平面所成的正弦值為.