Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，過點F₁的直線l，交橢圓E于A、B兩點，過點F₂的直線l₂交橢圓E于C，D兩點，且AB⊥CD，當CD⊥x軸時，|CD|=3．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{1}{2}$，過點F₂的直線l₂交橢圓E于C，D兩點，當CD⊥x軸時，|CD|=3，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓E的標準方程．
（Ⅱ）設四邊形ABCD的面積為S，AB與CD中有一條與x軸重合或平行，S=2b²=6．若AB與CD的斜率都存在，不妨設AB的斜率為k，設AB：y=k（x+1）與橢圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由韋達定理和弦長公式求出AB=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，同理，得BC=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$，從而S=$\frac{1}{2}×AB×CD$=72×$\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（3{k}^{2}+4）（3+4{k}^{2}）}$，令t=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$∈（0，1），S=g（t）=72×$\frac{1}{-{t}^{2}+t+12}$，由此根據函數的單調性能求出四邊形ACBD面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，
過點F₂的直線l₂交橢圓E于C，D兩點，當CD⊥x軸時，|CD|=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{2^{2}}{a}=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）設四邊形ABCD的面積為S，
若AB與CD中有一條與x軸重合或平行，
S=$\frac{1}{2}×2×\frac{^{2}}{a}×2a$=2b²=6．
若AB與CD的斜率都存在，不妨設AB的斜率為k，
設AB：y=k（x+1）與橢圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得3x²+4k²（x+1）²-12=0，
即（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}×\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
同理，得BC=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$，
S=$\frac{1}{2}×AB×CD$=72×$\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（3{k}^{2}+4）（3+4{k}^{2}）}$，
令t=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$∈（0，1），S=g（t）=72×$\frac{1}{-{t}^{2}+t+12}$，
g（t）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數，在[$\frac{1}{2}$，1）上是增函數，g（0）=g（1），
∴四邊形ACBD面積的最小值S_min=g（$\frac{1}{2}$）=72×$\frac{1}{-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+12}$=$\frac{288}{49}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查四邊形的面積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、弦長公式的合理運用．