Question

16．已知函數f（x）=4^x-2•2^x+1-6，其中x∈[0，3]．
（1）求函數f（x）的最大值和最小值；
（2）若實數a滿足f（x）-a•2^x≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令2^x=t，則t∈[1，8]，問題轉化為求f（t）=t²-4t-6=（t-2）²-10的最值即可；
（2）問題轉化為a≤2^x-$\frac{6}{{2}^{x}}$-4，令2^x=t，則t∈[1，8]，則a≤t-$\frac{6}{t}$-4，令h（t）=t-$\frac{6}{t}$-4，根據函數的單調性求出h（t）的最小值，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=4^x-2•2^x+1-6，其中x∈[0，3]，
令2^x=t，則t∈[1，8]，
故f（x）=f（t）=t²-4t-6=（t-2）²-10，
故f（t）在[1，2]遞減，在[2，8]遞增，
故f（t）的最小值是f（2）=-10，f（t）的最大值是f（8）=26，
即f（x）的最小值是f（2）=-10，f（x）的最大值是f（8）=26；
（2）若實數a滿足f（x）-a•2^x≥0恒成立，
即a≤2^x-$\frac{6}{{2}^{x}}$-4，
令2^x=t，則t∈[1，8]，
則a≤t-$\frac{6}{t}$-4，
令h（t）=t-$\frac{6}{t}$-4，則h′（t）=1+$\frac{6}{{t}^{2}}$＞0，
h（t）在[1，8]遞增，
故h（t）的最小值是h（1）=-9，
故a≤-9．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及二次函數的性質，是一道中檔題．