Question

8．設函數f（x）的導函數為f'（x），且滿足$xf'（x）+f（x）=\frac{e^x}{x}$，f（1）=e，則x＞0時，f（x）（　　）

• A． 有極大值，無極小值
• B． 有極小值，無極大值
• C． 既有極大值又有極小值
• D． 既無極大值也無極小值

Answer 1

分析 求出函數f（x）的導數，根據函數的單調性判斷出f（x）遞增，從而求出f（x）無極值．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}-xf（x）}{{x}^{2}}$，
令g（x）=e^x-xf（x），
∴g′（x）=e^x-（xf′（x）+f（x））
=e^x（1-$\frac{1}{x}$），
若x＞1，則g′（x）＞0，g（x）＞g（1）=0，f（x）遞增，
若0＜x＜1，則g′（x）＜0，g（x）＞g（1）=0，f（x）遞增，
∴函數f（x）既無極大值又無極小值；
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．