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9.平面直角坐標系xoy中,橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦,當其中一條弦所在直線斜率為0時,兩弦長之和為6.
(1)求橢圓的方程;
(2)A,B是拋物線C2:x2=4y上兩點,且A,B處的切線相互垂直,直線AB與橢圓C1相交于C,D兩點,求弦|CD|的最大值.

分析 (1)由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦,當其中一條弦所在直線斜率為0時,兩弦長之和為6,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓方程.
(2)設直線AB為:y=kx+m,由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$,得x2-4kx-4m=0,由此利用韋達定理、直線垂直推導出直線AB過拋物線C1的焦點F,再由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$,得(1+2k2)x2+4kx-2=0,由此利用弦長公式能求出弦|CD|的最大值.

解答 解:(1)∵橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦,
當其中一條弦所在直線斜率為0時,兩弦長之和為6,
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2a+\frac{2{b}^{2}}{a}=6}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解得a=2,b=c=$\sqrt{2}$,
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$.
(2)設直線AB為:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$,得x2-4kx-4m=0,
則x1+x2=4k,x1x2=-4m,
由x2=4y,得${y}^{'}=\frac{x}{2}$,
故切線PA,PB的斜率分別為${k}_{PA}=\frac{{x}_{1}}{2}$,kPB=$\frac{{x}_{2}}{2}$,
再由PA⊥PB,得kPA•kPB=-1,
∴$\frac{{x}_{1}}{2}•\frac{{x}_{2}}{2}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=\frac{-4m}{4}=-m=-1$,
解得m=1,這說明直線AB過拋物線C1的焦點F,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$,得(1+2k2)x2+4kx-2=0,
∴|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{(4k)^{2}-4(1+2{k}^{2})•(-2)}}{1+2{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{8(1+4{k}^{2})}}{1+2{k}^{2}}$≤3.
當且僅當k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號,
∴弦|CD|的最大值為3.

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查弦長的最大值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意橢圓性質、韋達定理、弦長公式、直線與橢圓位置關系等知識點的合理運用.

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