Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的左、右焦點F₁，F₂與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點重合．且直線x-y-1=0與雙曲線右支相交于點P，則當雙曲線離心率最小時的雙曲線方程為（　　）

• A． ${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$
• B． $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$
• C． $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{2}=1$
• D． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 由題意方程，求得雙曲線的焦點坐標，當雙曲線離心率最小時，直線y=x-1與雙曲線相切，將直線方程代入雙曲線方程，由△=0，即可求得a和b的值，求得雙曲線方程．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的左、右焦點F₁（-3，0），F₂（3，0），
∴雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點F₁（-3，0），F₂（3，0），則c=3，
則a²+b²=9，
當雙曲線離心率最小時，直線y=x-1與雙曲線相切，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0，
可得△=4a⁴+4（b²-a²）（a²+a²b²）=0，化為a²-b²=1，
解得a²=5，b²=4，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，直線與雙曲線的位置關系，直線與雙曲線相切的條件，考查計算能力，屬于中檔題．