Question

（本題滿分15分）設橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，過與垂直的直線交軸負半軸于點，且．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（Ⅲ）過的直線與（Ⅱ）中橢圓交于不同的兩點、，則的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）橢圓的方程為；（Ⅲ）存在，直線的方程為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，，由 ,可知為的中點，由此可得，，設,知，， 由題意可知， ，即得，，進一步計算可求出離心率的值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可求出的外接圓圓心為，即，半徑,所以再利用圓心到直線的距離等于半徑,可得到關于的方程，解出值，從而得到橢圓的方程.（Ⅲ）這是探索性命題，一般先假設存在，

可設，，由題異號, 的內切圓的面積最大，只需最大，此時也最大，而，所以可設直線的方程為,直線與橢圓方程聯立，消，再借助韋達定理來解決即可.

試題解析：（Ⅰ）由題，為的中點．

設，，則，，

由題，即，

即

（Ⅱ）由題外接圓圓心為斜邊的中點，半徑，

由題外接圓與直線相切

，即，即

，，故所求的橢圓的方程為

（Ⅲ）設，，由題異號．

設的內切圓的半徑為，則的周長為，

，

因此要使內切圓的面積最大，只需最大，此時也最大．

，

由題知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

由韋達定理得 ，，（）

令，則，

當時有最大值．此時，，

故的內切圓的面積的最大值為，此時直線的方程為

考點：橢圓的方程，離心率，直線與二次曲線位置關系.